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06
Mai
08

Projet de média politique sur Internet

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Pour ceux qui veulent mieux comprendre ma dissociation avec le personnage de Lucifer, je vous invite à visiter cet article sur mon nouveau blog : http://almalejeune.wordpress.com/2008/07/22/plan-divin/

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06
Mai
08

Clara et Socrate : La théorie de l’évolution

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05
Mai
08

Constitution et droits humains

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05
Mai
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Le Triangle Universel

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05
Mai
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Pourquoi et comment aller à l’école?

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05
Mai
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Clara et Socrate: Sur les Mathématiques

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05
Mai
08

Clara et Socrate: le doublement du carré

1. Clara vient de finir l’école. Elle a reçu la note de son dernier examen de mathématiques, elle est déçu de son résultat : elle pensait avoir réussi, mais elle a eu une mauvaise note. Elle se prépare à rentrer chez elle à pied, en pensant à comment annoncer la note à ses parents. En ouvrant la porte de sortie de l’école, elle voit Socrate qui est en train de rentrer.

2. Salut Clara!

3. Hé, salut Socrate…

4. Qu’est-ce qui ne va pas?

5. J’ai reçu le résultat de mon dernier examen de maths et j’ai eu 7/20. Pourtant j’avais commencé à réviser trois jours avant. Je connaissais mon cours par cœur. Je ne comprends pas ce qui s’est passé…

6. Ne t’en fais pas pour ça, ce n’est qu’une note, tu te rattraperas.

7. Mais j’ai toujours eu des mauvaises notes en maths! Même quand je révise j’ai des mauvaises notes; je suis vraiment nulle.

8. Écoute, je dois aller déposer une lettre à l’administration. Reste ici, et quand je reviens je vais te proposer quelque chose pour te prouver que tu n’es pas nulle, comme tu dis. Qu’est-ce que tu en dis?

9. Ok. Je vais m’asseoir en t’attendant.

10. Je reviens dans deux minutes.



11. Socrate revient, et s’assoit à côté de Clara avec un papier et un crayon.

12. Je vais te poser un problème qui date de la Grèce Antique, et dont Platon fait mention dans un de ses textes : comment doubler l’aire d’un carré. Je vais te prouver que tu es capable de le résoudre. Tu es prête?

13. Mais je ne serai pas capable! Je ne suis même pas capable de résoudre des problèmes que mon professeur me donne, encore moins un problème d’il y a plus de 2000 ans!

14. Pourquoi?

15. Parce que je n’ai jamais été capable de résoudre aucun problème toute seule!

16. Mais est-ce que tu as déjà essayé de résoudre celui que je veux te présenter?

17. Non.

18. Est-ce que tu acceptes au moins que je te l’explique? Et si tu n’es vraiment pas capable, au moins on en aura le cœur net.

19. Bon, d’accord…

20. Alors, le problème est le suivant : si je te donne un carré quelconque, celui-ci par exemple (fig. 1), comment ferais-tu pour trouver le carré dont l’aire est le double de celui-là?

21. Je ne suis pas sûre de comprendre ce que tu veux dire…

22. Admettons que le carré que je t’ai donné ait une aire de 1. Comment ferais-tu pour tracer le carré avec une aire de 2?

23. Je n’arrive pas à visualiser ce que tu veux dire, Socrate. Je t’ai dit que j’étais nulle en maths…

24. Pas de problème. Je vais te présenter le problème encore d’une autre façon. Tu pourras le voir avec tes propres yeux, et le toucher avec tes mains. Reprenons le premier carré (fig. 1). Faisons-en un autre identique. Tu te retrouves maintenant avec deux carrés identiques (fig. 2), on est d’accord?

25. Attends… oui, c’est vrai, ils ont les mêmes longueurs.

26. Bien. Maintenant, combien a-t-on dit que leur aire valait?

27. L’aire des deux carrés identiques?

28. Oui.

29. Je ne sais plus trop… on n’avait pas dit 1?

30. Exactement. On avait dit que l’aire du premier carré (fig. 1) était 1. Donc l’aire de son « jumeau » est 1 aussi?

31. Oui.

32. Est-ce que tu es d’accord avec moi pour dire que si on ajoute l’aire de ces deux carrés identiques, on aura une aire de 2?

33. 1+1=2, oui.

34. D’accord, donc si j’additionne leur aire, j’arrive à une aire de 2. De combien est-ce que cette nouvelle aire est-elle plus grande que notre aire originale de 1?

35. On est passé d’une aire de 1 à une aire de 2. C’est deux fois plus grand!

36. Excellent. On passe donc d’une aire de 1 à une aire de 2. Je vais te poser deux questions maintenant. Tu me suis toujours?

37. Oui, oui, continue Socrate.

38. La première question, plutôt facile est la suivante : quelle est la forme géométrique de notre première figure (fig. 1)?

39. Attends, c’est presque trop facile, j’ai peur qu’il y ait un piège. Mais en même temps, la question est sans ambiguïté. Si je la comprends bien, la bonne réponse c’est que la première figure est un carré. Est-ce que j’ai raison Socrate?

40. Tout à fait.

41. Haha! Le piège c’était de croire qu’il y avait un piège!!! Sacré Socrate! T’as vu, je ne suis pas tombé dedans.

42. Bien joué Clara! Continuons : on avait donc un carré d’aire 1 au départ. On en a ajouté un deuxième identique et on est arrivé à une aire de 2. Voici ma deuxième question : quelle forme géométrique obtient-on quand on ajoute nos deux carrés?

43. Euh… laisse moi voir. Alors si je prends le premier carré et je colle le deuxième sur un côté (fig. 3), j’obtiens un… Attends, je le sais! C’est un… Attends, laisse moi trouver, je le sais, je l’ai appris, je m’en souviens!!! C’est un…rectangle! Haha! J’ai eu peur de l’avoir oublié. C’est un rectangle.

44. Très bien, c’est un rectangle. Donc si on ajoute bout à bout deux carrés identiques d’aire 1 chacun, on obtient un rectangle. Quelle est l’aire de ce rectangle?

45. Bien, c’est l’aire du premier carré plus l’aire du deuxième carré. C’est-à-dire, 1+1, donc l’aire du rectangle est 2.

46. Excellent Clara. On a très bien avancé jusqu’à maintenant et tu as été très perspicace et attentive. Déjà pour arriver ici, tu mérites toute ma reconnaissance et mon admiration. Je comprendrai si tu voulais arrêter là, mais il nous reste une dernière étape avant de pouvoir dire qu’on a vraiment résolu le problème. Tu te sens prête à continuer?

47. Je suis un peu fatiguée, mais je pense pouvoir te suivre encore quelques minutes.

48. Très bien. Alors ma dernière question est assez simple et si tu réussis à y répondre, tu auras réussi à résoudre une énigme mathématique datant de la Grèce Antique. Et tu partageras cette découverte avec des milliers de gens qui l’ont fait avant toi! Voici la fameuse question : y a-t-il une autre manière d’additionner les deux carrés, de sorte que la forme géométrique finale soit un carré? Autrement dit, qu’est-ce que tu pourrais faire pour transformer les deux carrés que tu as en un autre carré plus grand?

49. Attends, si je comprends bien ta question, tu me demandes de prendre les deux carrés identiques, de les assembler pour arriver à un autre carré (fig. 4), au lieu d’un rectangle comme on avait tout à l’heure (fig. 3)?

50. Exactement. Qu’est-ce que tu devrais faire pour y arriver?

51. Si je les mets côtes à côtes, vers la gauche ou la droite, ou vers le bas ou le haut, j’aurai toujours un rectangle (fig. 5)!

52. C’est vrai…

53. Si je relie seulement un de leurs sommets, j’obtiens une autre forme, mais ce n’est pas un carré (fig. 6). Mmm… Je pense que c’est impossible.

54. Donc tu dis que peu importe comment tu les colle l’un à l’autre, par les côtés ou par les sommets, tu n’arriveras jamais à un carré?

55. C’est ça.

56. Je suis d’accord avec toi. On a beau les coller à droite, à gauche, en haut, en bas, par chacun des quatre sommets, les incliner, etc., on n’arrivera jamais à créer la forme d’un carré (fig. 7). Maintenant, pense à cette question : est-ce que c’est la seule manière d’ajouter deux choses ensemble?

57. Je ne comprends pas ce que tu veux dire…

58. Je vais te donner un exemple : qu’est-ce que tu fais si tu veux mettre deux tranches de jambon dans ton sandwich, mais les deux tranches que tu as sont trop grandes pour ton pain?

59. Haha! Je ne vois pas le lien entre les carrés et les tranches de jambon, mais je vais y répondre pour te faire plaisir Socrate. Pour rentrer les deux tranches que j’ai dans mon sandwich sans qu’elles ne dépassent du pain, je vais les plier.

60. Oui. Ou alors?

61. Sinon je peux les couper.

62. Exactement. Reviens maintenant aux deux carrés. De quelle autre manière peux-tu les additionner?

63. En les coupant?

64. Oui, pourquoi pas?

65. Mais, qui a dit que je pouvais les couper?

66. Qui a dit que tu ne pouvais pas les couper?

67. Mais, tu n’as jamais dit dans ton problème que j’avais le droit de les couper!! Comment suis-je sensée savoir?

68. Je ne t’ai donné aucune restriction, je t’ai présenté le problème comme ça : comment doubler l’aire d’un carré?

69. Mais…

70. Si je ne te dis rien sur la manière de le faire, tu dois assumer que tu as le droit de tout faire! Quand tu as le droit de tout faire, la limite c’est ton imagination.

71. Bon, je ne suis pas convaincue, mais pour cette fois ça va aller…

72. Continue, maintenant en sachant que tu peux les couper…

73. Alors si j’ai le droit de les couper c’est facile… Je prends le premier, je le coupe à la moitié verticalement (fig. 8) et je colle les deux parties sur les côtés du deuxième (fig. 9). Voilà.

74. D’accord. Quelle est la forme que tu as créée?

75. Un carré. Ah non! Il y a un trou (fig. 10)! Zut! C’est pas grave, je vais couper moins comme ça il me restera un bout pour remplir le trou. Alors je vais encore couper à la moitié, mais je vais découper une petite bande de chaque partie. Je vais poser les deux parties sur les côtés du carré, comme avant, (fig. 10) puis je vais rétrécir les deux bandes pour les faire rentrer dans le trou (fig. 11).

76. Est-ce que tu obtiens un carré?

77. Non. Zut! Là mon trou est trop rempli, il y a des bouts qui dépassent! Alors il suffit de couper des bandes plus petites…

78. De combien plus petites?

79. Ben, je ne sais pas exactement, mais plus petites qu’avant.

80. N’oublie pas, on veut exactement un carré, il faut que tes bandes tombent pile.

81. Pour savoir exactement, c’est impossible. Si je prends des bandes plus petites, les deux parties que je colle sur les côtés du carré vont être plus grandes, c’est trop compliqué, il me faudrait une règle peut-être.

82. Non, la règle va encore plus compliquer. Tu peux le faire sans règle.

83. Mais avec les bandes comme ça, ça ne marche pas, sans règle, ou sans calcul, je ne peux pas savoir exactement.

84. Oublie les calculs. Reviens à quand je t’ai demandé si on pouvait additionner les carrés d’une autre manière et tu m’as répondu « en les coupant ».

85. D’accord.

86. Qu’est-ce que tu as pensé faire ensuite?

87. J’ai décidé de couper un carré à la moitié, verticalement…

88. Oui. Est-ce que tu as essayé horizontalement?

89. Haha! Franchement Socrate, c’est la même chose. Si je le coupe de haut en bas ou de gauche à droite, c’est la même chose! Des fois je me demande si tu fais exprès.

90. Donc verticalement ça ne marche pas, horizontalement non plus…qu’est-ce qu’il nous reste à essayer?

91. Je sais!!! En diagonale, on n’a pas essayé!

92. Vas-y…

93. Je prends un carré, je le coupe en diagonale (fig. 12). Je prends chacune des deux parties, et je les colle sur deux côtés de l’autre carré (fig. 13). Mais ça ne marche pas! Et peu importe où je les colle, ça ne me donne pas un carré, ça me donne une forme bizarre.

94. Pense à ton sandwich. Tu as seulement coupé un des deux tranches…

95. Je modifie l’autre aussi?

96. Pourquoi pas?

97. D’accord. Alors, je coupe le deuxième carré aussi (fig. 14). Ça devient amusant maintenant Socrate! Ça me fait penser aux legos, ou à un puzzle. J’ai quatre pièces identiques et je dois les assembler pour former un carré, voyons voir…

À toi de jouer :

– Es-tu capable de transformer ces quatre triangles (fig. 14) en un carré? Tu peux découper, sur une feuille, deux carrés identiques, puis les couper en diagonale pour la construction.

– Combien mesure le côté de ton nouveau carré dont l’aire est égale à 2? Qu’est-ce que ce nombre a de particulier, par rapport aux nombres entiers (1, 23, 827) et aux nombres fractionnaires (1.5, 45/7, 1/3)?

– Est-ce que tu aurais pu mesurer cette longueur avec ta règle, comme Clara voulait faire à un moment?

– En répondant à ces questions, tu viens de rentrer dans une nouvelle sorte de nombre : les nombres irrationnels.

– Aussi, tu es rentré dans la nature de l’espace et des quantités : la racine de 2 n’existe pas sur la ligne droite, mais existe comme une grandeur unitaire doublement étendue (dans deux directions différentes).